|
Смелый подход к воображаемым числам
|
|
|
|
Для нематематика может быть трудно осознать, что буква "i" обозначает число, которое на самом деле не существует и является "воображаемым". Однако, если вы откроете свой разум для такого образа мышления, то откроется совершенно новый мир.
|
|
|
|
Я математик, изучающий анализ: область математики, которая имеет дело с комплексными числами. В отличие от более привычных действительных чисел — положительных и отрицательных целых чисел, дробей, квадратных корней, кубических корней и четных чисел, таких как пи, — комплексные числа имеют мнимую составляющую. Это означает, что они состоят как из действительных чисел, так и из мнимого числа i: квадратного корня из отрицательной 1.
|
|
|
|
Помните, что квадратный корень из числа представляет собой число, квадрат которого является исходным числом. Положительное число, умноженное на само себя, является положительным числом. Отрицательное число, умноженное на само себя, является положительным числом. Мнимое число i представляет собой число, которое при умножении на само себя каким-то образом становится отрицательным.
|
|
|
|
Разговоры о мнимых числах с нематематиками часто приводят к возражениям типа: "Но ведь этих чисел на самом деле не существует, не так ли?" Если вы относитесь к числу таких скептиков, то вы не одиноки. Даже математическим гигантам было трудно воспринимать сложные числа. Во-первых, называя -SQR 1 "воображаемым", мы никак не помогаем людям понять, что это не фантастика. Математик Джироламо Кардано в своей книге 1545 года "Великая сила", посвященной комплексным числам, отверг их как "столь же тонкие, сколь и бесполезные". Даже Леонард Эйлер, один из величайших математиков, предположительно вычислил SQR(-2) SQR(-3) как SQR6. Правильный ответ - SQR6.
|
|
|
|
|
|
|
В старших классах вы, возможно, сталкивались с квадратичной формулой, которая дает решения уравнений, в которых неизвестная переменная возводится в квадрат. Возможно, ваш школьный учитель не захотел разбираться с вопросом о том, что происходит, когда (b2—4ac) — выражение, получаемое из квадратного корня в квадратичной формуле, — является отрицательным. Возможно, они замяли этот вопрос, решив, что с ним можно разобраться в колледже.
|
|
|
|
Однако, если вы готовы поверить в существование квадратных корней из отрицательных чисел, вы получите решения совершенно нового набора квадратных уравнений. На самом деле, перед вами открывается целый удивительный и полезный мир математики - мир комплексного анализа.
|
|
Комплексные числа упрощают другие области математики
|
|
|
|
Что вы получаете за свою веру в комплексные числа?
|
|
|
|
Во-первых, тригонометрия становится намного проще. Вместо того, чтобы запоминать несколько сложных тригонометрических формул, вам нужно всего одно уравнение, чтобы управлять ими всеми: формула Эйлера 1740 года. Обладая хорошими навыками алгебры, вы можете манипулировать формулой Эйлера, чтобы увидеть, что большинство стандартных тригонометрических формул, используемых для измерения длины или угла треугольника, становятся проще простого.
|
|
|
|
Математический анализ также становится проще. Как отмечали математики Роджер Котес, Рене Декарт, который ввел термин "мнимое число", и другие, комплексные числа облегчают решение кажущихся невозможными интегралов и измерение площади под сложными кривыми.
|
|
|
|
Комплексные числа также играют важную роль в понимании всех возможных геометрических фигур, которые можно построить с помощью линейки и циркуля. Как отметили математики Жан-Робер Арганд и Карл Фридрих Гаусс, комплексные числа можно использовать для манипулирования геометрическими фигурами, такими как пятиугольники и восьмиугольники.
|
|
Комплексный анализ в реальном мире
|
|
|
|
Комплексный анализ имеет множество применений в реальном мире.
|
|
|
|
Идея математика Рафаэля Бомбелли о выполнении таких алгебраических операций, как сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, позволяет использовать их в математическом анализе.
|
|
|
|
С этого момента многое из того, что ученые используют в физике для изучения сигналов или передачи данных, становится более управляемым и понятным. Например, комплексный анализ используется для манипулирования вейвлетами или небольшими колебаниями в данных. Это имеет решающее значение для устранения помех в искаженном сигнале со спутника, а также для сжатия изображений для более эффективного хранения данных.
|
|
|
|
Комплексный анализ позволяет инженерам преобразовать сложную задачу в более простую. Таким образом, он также является важным инструментом во многих областях прикладной физики, таких как изучение электрических свойств сложных конструкций и свойств жидкостей.
|
|
|
|
Как только они освоились с комплексными числами, такие известные математики, как Карл Вейерштрасс, Огюстен-Луи Коши, Бернхард Риман и другие, смогли разработать комплексный анализ, создав полезный инструмент, который не только упрощает математику и развивает науку, но и делает их более понятными.
|
|
|
|
Источник
|
