04.10.2005. - Наука угадать

Наука угадать

Принимая важное решение, мы часто ищем кого-нибудь, кто помог бы нам не ошибиться. В разные эпохи функции таких советчиков выполняли колдуны, шаманы, философы, ученые. Их советы оказывались более или менее полезными, но панацею никто не изобрел. Не стала панацеей и разрабатываемая в последнее время математическая теория игр, предлагающая алгоритм принятия решения при недостатке информации. Несмотря на то что Райнхард Зельтен, чье 75-летие отмечается на этой неделе, получил Нобелевскую премию за разработку приложения теории игр к экономическим проблемам, математическая теория, способная моделировать реальные экономические процессы, не будет создана никогда.

Ходоки у шамана

Отправляясь на охоту, заключая сделку или же ввязываясь в потасовку, человек не знает, чем все это закончится. Именно это незнание объединяет нас с пещерными людьми. Первобытный охотник точно так же, как и современный бизнесмен, не знает, какие форсмажорные обстоятельства поджидают его в ближайшее время. И в результате охотник становится чьим-то завтраком, а бизнесмен -- банкротом. Стоит ли после этого удивляться той популярности, которой пользовались и пользуются различные методики, помогающие вовремя подстелить соломку.

Способов повлиять на будущее или хотя бы узнать, что тебя ожидает, всегда было более чем достаточно. Античные полководцы перед сражениями наблюдали за полетом птиц или же движением звезд. А сибирские охотники предпочитают советоваться с духом огня. При этом дух работает не бесплатно, а за определенное вознаграждение. Услуги духа иногда оплачиваются предварительно, а иногда, так сказать, по факту сбывшегося предсказания. Так, например, нанайские охотники перед сном бросают в огонь еду, прося подкрепившегося духа послать вещий сон и показать, где лучше искать зверя. А нганасаны, обращаясь к духу деревянного крюка, на котором подвешивается котел в чуме, обходятся без предоплаты. Они просто просят показать место, где имеется много диких оленей, приговаривая при этом: "Погадай, тогда близко к еде будешь, тогда тебя тоже кормить будешь, тогда запахом мяса будешь ты сыт". То есть вечером вещий сон -- а запах мяса лишь на другой день.

В разные эпохи люди обращались к богам, мудрецам, гадалкам или психоаналитикам школы Зигмунда Фрейда, чтобы принять максимально верное решение

Получить от шамана, духа или оракула ответ было еще половиной дела. Куда труднее было смириться с предсказанным. Истории про тех, кто пытался обмануть судьбу, общеизвестны. Все хорошо помнят о судьбе царя Эдипа, родителям которого было предсказано, что их сын убьет отца и станет мужем собственной матери. Чтобы обмануть судьбу, родители приказали убить младенца, но слуга пожалел его, в итоге выросший в чужой семье Эдип в случайной драке убил собственного отца и затем по неведению женился на его вдове. В течение многих столетий эта история служила педагогическим целям, доказывая, что судьбу не проведешь и оракулу нужно верить.

Куда более разумно поступил библейский Гедеон, согласившийся применить для отбора воинов, которые пойдут с ним в бой, такую экзотическую процедуру. Вот способ, предложенный Гедеону Иеговой: "Он привел народ к воде. И сказал Господь Гедеону: кто будет лакать воду языком своим, как лакает пес, того ставь особо, также и тех всех, которые будут наклоняться на колени свои и пить. И было число лакавших ртом своим с руки триста человек; весь же остальной народ наклонялся на колени свои пить воду". Именно с этими тремястами Гедеон и одержал победу.

Вера в разум

Любая гадалка исходит из того, что случайностей в жизни не бывает, и в этом с ней вполне соглашаются философы-материалисты. В 1665 году, рассуждая о свободе и необходимости, Томас Гоббс утверждал, что даже результат бросания игральной кости является закономерным, и мы не можем его предсказать лишь потому, что не владеем всей полнотой информации. "Представим себе,-- писал Гоббс,-- самое случайное происшествие, например выпадение равного числа очков на обеих костях при игре в кости, и посмотрим, не был ли результат обусловлен необходимыми причинами еще до того, как кости были брошены. Поскольку результат получился в результате бросания, то он имел начало и, следовательно, причину, достаточную для его произведения. Эта достаточная причина заключалась частью в костях, частью в таких внешних вещах, как положение руки, сила, с которой игрок бросал кости, особенности стола и т. п. Имеется все, что требуется, чтобы произвести указанный результат, и, следовательно, результат был необходимо обусловлен... Таким же образом может быть доказано, что всякое другое происшествие, каким бы случайным или произвольным оно ни казалось, произошло в силу необходимости".

С тем, что результат бросания игральной кости предвидеть невозможно, не желал смиряться не только Гоббс. Первые опыты вычислений результатов азартных игр относятся к X-XI векам, а в XV веке был даже написан математический трактат в стихах, описывающий все комбинации, которые могут выпасть при бросании трех костей. Поскольку здесь возможно 56 исходов, поэма состоит из 56 стихов. Классические задачи о природе судьбы, над которыми математики размышляли в течение почти столетия, предложил приятель Леонардо да Винчи Лука Пачиоли. В первой из этих задач речь идет о двух игроках в кости, которые прервали игру в тот момент, когда один из них имеет 5 очков, а другой 2. При этом по условиям игры ставку должен получить игрок, набравший 6 очков. Задача состоит в том, в какой пропорции следует разделить между игроками те деньги, которые они поставили на кон. В другой задаче требуется справедливо разделить ставки между тремя стрелками из лука, которые держат пари на шесть попаданий и прекращают состязание после того, как один из них имеет четыре, другой -- три, а третий -- два попадания. Забавно, что во всех этих задачах Пачиоли хотел разделить ставки не как-нибудь, а по справедливости. Таким образом, господам математикам предлагалось создать что-то вроде математической модели справедливого распределения по воле случая.

Теория справедливости

Самому Пачиоли не удалось дать удовлетворительного решения этой задачи, но озабоченные мечтой о справедливой игре математики не переводятся. Спустя более чем столетие известный парижский игрок кавалер де Мере обратился к Блезу Паскалю с просьбой помочь решить задачу о справедливом распределении выигрышей. Эту задачу Паскаль решал совместно с Пьером Ферма. Считается, что с переписки этих двух математиков берет начало теория вероятности. "Вот, примерно, что я делаю,-- писал Паскаль к Ферма в июле 1654 года,-- для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено в игру 32 пистоля. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если ее выиграет первый, то он получает всю сумму 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь две выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньор, что, если первый выиграет, ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: 'Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо вами. Случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля'. Таким образом, один получит 48 пистолей, а другой -- 16". В этом же письме Паскаль рассматривает и другие случаи: как разделить ставку при игре до трех партий, если первый игрок выиграл одну или две партии, а второй не выиграл ни одной. Во всех случаях Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при продолжении игры.

Зигмунд Фрейд

Фото: AP

К несчастью игроков, озабоченных справедливым распределением ставок, выкладки Паскаля и Ферма были опубликованы лишь через много лет после смерти этих ученых. Паскаль, правда, собирался написать книгу с красноречивым названием "Математика случая", но так и не осуществил эту идею. А первое общедоступное математическое описание азартных игр "О расчетах при азартных играх" было опубликовано голландцем Христианом Гюйгенсом в 1657 году.

Забавно, что авторы практически всех книг по истории математики приводят одно и то же высказывание Гюйгенса об игре: "При внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма полезной". Историкам почему-то всегда бывает немножко стыдно за то, что великие ученые занимались столь несерьезным делом. Хотя стесняться тут нечего: Гюйгенс был далеко не единственным ученым, мечтавшим вычислить, как ляжет фишка. Например, Галилео Галилею принадлежит трактат "О выходе очков при игре в кости", описывающий все возможные комбинации цифр. Сам автор ни секунды не сомневался в том, что таким образом он указал "путь к точнейшему изложению оснований, которые позволяют осветить все особенности игры". Для развития теории вероятности идеи Галилея были очень плодотворными, но использовать эту книгу в качестве пособия при игре в кости все-таки не рекомендуется.

Обсчитать судьбу

Галилею удалось измерить высоту лунных гор, но достоверно предсказать результаты самой простой игры он не смог

Всеобщий интерес к поведению игральной кости привел к тому, что вероятностные расчеты стали применять и по отношению к человеческим проблемам. Общим местом стало убеждение, что жизнь -- это всего лишь игра с судьбой. Математические работы, посвященные играм, оказались востребованными не только профессиональными игроками и организаторами лотерей, но, например, страховщиками, которых интересовала вероятность наступления страхового случая. Тот же Гюйгенс применял свои "Расчеты при азартных играх" для вычислений продолжительности жизни своих соотечественников. Опираясь на свои исследования, он составил таблицу, показывающую, какие шансы имеет младенец дожить до того или иного возраста. По расчетам Гюйгенса, новорожденный младенец имеет 36 шансов из 100 дожить до 3 лет, 24 шанса -- до 11 лет, 15 -- до 21 года и т. д. При этом вероятность умереть в возрасте 18 лет и 2,5 месяца (средняя продолжительность жизни в то время) была небольшой.

Постепенно стало казаться, что наука скоро не оставит места случайности. Люди почти поверили в то, что все индивидуальное является лишь частным случаем каких-то общих законов, которые если еще не открыты, то будут открыты в ближайшем будущем. Однако периоды всеобщей веры в науку редко бывают особенно продолжительными.

В погоне за уликами

Теория вероятностей началась с того, что по заказу именитого парижского игрока Пьер Ферма (на гравюре) и Блез Паскаль описали поведение игральных костей

К концу XIX века поиск всеобщих законов беспорядка успел порядком надоесть, и люди стали с куда большей охотой обращать внимание на мелкие индивидуальные детали. Героем этого времени становится не ищущий всеобщую закономерность математик или философ, а врач, способный на основе анализа симптомов поставить диагноз одному конкретному человеку. Новые веяния ощущались буквально во всем. Если раньше искусствоведы предпочитали говорить о всеобщих законах красоты, то теперь итальянец Джованни Морелли начал составлять подробные каталоги ушей, локонов и глаз в изображении художников разных эпох. Эти каталоги второстепенных деталей позволили подтвердить или опровергнуть подлинность сотен картин.

Еще совсем недавно криминалисты любили порассуждать о врожденной порочности и возможностях перевоспитания прирожденных преступников, а теперь служащий парижской прокуратуры Альфонс Бертильон стал составлять картотеку преступников, пользуясь тщательными обмерами человеческого тела. Таким образом, стало возможным отождествить описание преступника с конкретным человеком.

За тысячелетия, прошедшие со времен Гектора и Аякса, появились превосходные математические описания игр, но правила игры в кости почти не изменились

Одновременно с этим австрийский психиатр Зигмунд Фрейд попытался при помощи анализа случайных оговорок, непроизвольных жестов и ассоциаций понять мотивы и первопричины реакций своих пациентов. В результате чего рядом с возвещающим волю богов оракулом и пытающимся все строго объяснить математиком появился психоаналитик, объясняющий человеческие поступки через его бессознательное. Теперь о судьбе Эдипа стали вспоминать не в связи с разговорами о всесилии судьбы, а в связи с особенностями взаимоотношений детей и родителей.

Увлечение частностями привело, кстати сказать, и к рождению детектива. Шерлок Холмс, распутывающий преступления, анализируя на первый взгляд несущественные детали, идет вполне в ногу со временем. Сходство методов, при помощи которых Морелли осуществлял атрибуцию картин, Фрейд анализировал бессознательное, а Шерлок Холмс раскрывал преступления, бросается в глаза.

Вместо гадалок, оракулов и примкнувших к ним ученых появились консультанты новой формации. Теперь люди предпочитали прибегать к услугам психоаналитика, помогающего не идти на поводу собственных страхов и фобий, или же детектива, защищающего от наездов недоброжелателей. Никаких универсальных методик консультанты нового поколения не предлагали, зато решали проблемы конкретного человека, своего клиента. А большего от них никто и не требовал. И тем не менее каждый человек в глубине души верит, что всеобъемлющая теория, могущая объяснить все на свете, когда-нибудь будет создана.

Игры, в которые играют математики

Фото: AP

Человек XX века стал физически не способен уследить за достижениями современной науки, поэтому ему ничего не оставалось, как целиком ей доверять. Абстракции, совершенно не предназначенные для широкого тиражирования, пришли в массы и, как в сказке, обрели реальность. Не одно поколение фантастов пыталось поселить людей в летящий быстрее света космический корабль или заставить погулять в четвертом и далее по списку измерениях. Математическое моделирование стало входить в моду. Поэтому нет ничего удивительного в том, что к середине века появился математический аппарат, предназначенный для описания ситуаций принятия решений в условиях неопределенности. Этот раздел математики получил название теории игр. В рамках игровых моделей описывают поведение человека, который знает, что с ним может произойти, но не знает, что именно произойдет. Поэтому все, что он может делать,-- это разработать для каждого случая подходящую стратегию и попытаться оценить, какова вероятность каждого варианта развития событий.

В отличие от создателей вероятностных моделей творцы теории игр решили попробовать рассматривать участников социальных процессов, например экономической деятельности, как участников игры, которая идет по определенным правилам. Эти правила оставляют участникам игры определенную свободу, однако набор стратегий, к которым они могут прибегнуть, оказывается ограниченным. Эти правила хотя и ограничивают свободу каждого игрока, но зато дают ему возможность предположить, какой стратегии будет придерживаться его конкурент.

Создатели теории игр начинали с анализа игр вроде покера, где игрокам неизвестно, какими средствами располагает противник. А затем математики решили попробовать обратиться к описанию человеческой реальности: войн, экономических конфликтов и даже разводов. В каждом случае речь идет о двух или более участниках, ведущих борьбу либо за деньги, либо за кусок земли. Каждая из сторон имеет свою цель и использует собственную стратегию, разработанную с учетом представлений этой стороны о противнике, о его возможностях и особенностях мышления. Объединение в одном флаконе математики и психологии казалось грозным оружием.

Звездные войны

Описав холодную войну как стратегическую игру, Джон Нэш предложил стратегию, приведшую к победе США над СССР

Фото: AP

Математический аппарат, подходящий для описания игровых ситуаций, был в середине прошлого века разработан американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном. Первоначально этот аппарат пытались использовать для анализа экономических конфликтов, однако началась холодная война -- и математики стали играть в войну. В 1949 году 20-летний ученый Джон Нэш написал диссертацию, посвященную некооперативным играм, то есть тем играм, участники которых стремятся не только сами набрать максимальное число очков, но и добиться того, чтобы у противоборствующей стороны очков оказалось как можно меньше. Вскоре молодой математик стал крупнейшим специалистом по холодной войне. На основе его расчетов моделировалось поведение СССР. Эти расчеты учитывались при развертывании программы СОИ, которая во времена Рейгана была технически неосуществима, однако в конечном счете заставила СССР признать свое поражение в холодной войне. Правда, сам Нэш в то время играл уже совсем в другие игры. Дело в том, что в течение почти 30 лет Джон Нэш занимался не столько математикой, сколько борьбой с инопланетянами. И лишь в начале 90-х годов, когда шизофрения по непонятным причинам отступила, Нэш вернулся к академической деятельности и даже получил в 1994 году совместно с Райнхардом Зельтеном и Джоном Харшаньи Нобелевскую премию по экономике. Стратегические игры оказались вполне востребованными для разработки экономической стратегии на уровне правительств и крупнейших корпораций.

А широкой аудитории теория игр хорошо знакома по компьютерным играм-стратегиям вроде знаменитой "Цивилизации" и по оскароносному фильму "Игры разума", в основе сюжета которого лежат события биографии Джона Нэша.

К гадалке не ходить

Разбогатев на игре с мировыми валютами, Джордж Сорос охотно поддерживает ученых, применяющих теорию игр в экономической сфере

Фото: ДМИТРИЙ ЛЕБЕДЕВ

Что же касается любви, которую к теории игр испытывают экономисты, то здесь дело не столько в практических результатах использования игровых моделей, сколько в той иллюзии строгого прогноза, которую эти модели создают. А на научность падки все, включая такого гуру, как Джордж Сорос. "Финансовые рынки,-- писал он,-- следуют принципу, который несколько родственен научному методу: процесс принятия решения об инвестициях похож на формулирование научной гипотезы и представление ее на практическое испытание. Основное отличие здесь в том, что гипотеза, на которой основаны решения об инвестициях, должна принести прибыль, а не установить универсальную верную закономерность". Стоит ли после этого удивляться тому, какое количество проектов, связанных с применением теории игр в экономике, поддержал Фонд Сороса.

Конечно, наличие математических моделей никогда не лишит работы астрологов, хиромантов и гадалок. Слабость к такого рода консультантам испытывал, как известно, не только Гитлер, но и Рейган, вполне доверявший аналитикам от оккультизма. И в общем-то их можно понять. Моделированию неплохо поддаются стерильные, не соотнесенные с реальностью ситуации. А в реальности точность прогноза часто оказывается не большей, чем при попытках рассчитать результаты игры в рулетку. Последнее время я все чаще слышу рассказы о том, как при приеме на работу кадровики долго беседуют с кандидатами о гороскопах. Одному моему знакомому повезло: он оказался гороскопическим близнецом своего собеседника и тот сразу накинул к его зарплате сотню долларов.

АЛЕКСАНДР МАЛАХОВ

ПРАВИЛА ИГРЫ

О расчетах в азартных играх

Хотя в играх, основанных на чистом случае, результаты являются неизвестными, однако шанс игрока на выигрыш или на проигрыш имеет определенную стоимость. Например, если кто-нибудь держит пари, что он выбросит при первом бросании одной кости 6 очков, то неизвестно, выиграет он или проиграет, но что является определенным и поддающимся исчислению, это то, насколько его шансы проиграть пари превосходят его шансы выиграть пари...

Если я имею равные шансы на получение a или b, то цена моему ожиданию равна a+b /2.

Чтобы это предложение не только доказать, но и построить с самого основания, я положу мое ожидание равным x. Тогда, если я имею x, я должен достичь такого же ожидания снова, коль скоро я веду игру при тех же условиях. Пусть теперь я играю против другого лица при условии, что каждый из нас ставит сумму x и выигравший всю ставку должен дать проигравшему сумму a. Эта игра совершенно справедлива, и ясно, что при этих условиях я одинаково ожидаю получить сумму a в случае моего проигрыша, как сумму 2x-a в случае выигрыша (так как в этом случае я получаю всю ставку 2x, из которой я должен отдать сумму a другому игроку). Однако, если 2x-a имело такую же цену, как и b, то я мог бы на a надеяться так же, как на b. Итак, я полагаю 2x-a=b и тогда получаю x=a+b /2 как цену моему ожиданию. Доказательство просто.

Христиан Гюйгенс. "De ratiociniis in ludo aleae", Гаага, 27 апреля 1657 года.

http://www.kommersant.ru/k-money/get_page.asp?page_id=28497156.HTM 03.10.2005