|
Бритва Оккама. Новый взгляд на структуру и сложность
|
|
|
|
В науке объяснение с наименьшим количеством предположений, скорее всего, будет верным. Названный «бритвой Оккама», этот принцип на протяжении столетий руководил теорией и экспериментами. Но как сравнивать абстрактные понятия? В новой статье философы из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре и Калифорнийском университете в Ирвине обсуждают, как взвесить сложность научных теорий, сравнивая лежащую в их основе математику. Они стремятся охарактеризовать количество структуры, которую имеет теория, используя симметрию — или аспекты объекта, которые остаются неизменными при внесении других изменений. После долгих дискуссий авторы в конечном итоге сомневаются, что симметрия обеспечит необходимую им основу. Тем не менее, они раскрывают, почему это такое прекрасное руководство для понимания структуры. Их статья опубликована в журнале Synthese.
|
|
|
|
«Научные теории не часто носят свою интерпретацию на рукаве, поэтому может быть трудно точно сказать, что они говорят вам о мире», — сказал ведущий автор Томас Барретт, доцент кафедры философии Калифорнийского университета в Санта-Барбаре. «Особенно современные теории. С каждым веком они становятся все более математическими». Понимание количества структур в различных теориях может помочь нам понять, о чем они говорят, и даже дать нам основания предпочесть одну из них другой. Структура также может помочь нам распознать, когда две идеи на самом деле являются одной и той же теорией, только в разной форме. Например, в начале 20 века Вернер Гейзенберг и Эрвин Шредингер сформулировали две отдельные теории квантовой механики. «И они ненавидели теории друг друга», — сказал Барретт. Шредингер утверждал, что теории его коллеги «не хватало наглядности». Между тем Гейзенберг нашел теорию Шредингера «отталкивающей» и заявил, что «то, что Шредингер пишет о визуализируемости [...], - чушь».
|
|
|
Но хотя эти две концепции казались радикально разными, на самом деле они делали одни и те же предсказания. Примерно десять лет спустя их коллега Джон фон Нейман продемонстрировал, что формулировки математически эквивалентны. Обычный способ исследовать математический объект — посмотреть на его симметрию. Идея состоит в том, что более симметричные объекты имеют более простую структуру. Например, сравните круг, который имеет бесконечно много вращательных и отражательных симметрий, со стрелой, которая имеет только одну. В этом смысле круг проще, чем стрелка, и для его описания требуется меньше математики. Авторы распространяют эту рубрику на более абстрактную математику, используя автоморфизмы. Эти функции сравнивают различные части объекта, которые в некотором смысле «одинаковы» друг с другом. Автоморфизмы дают нам эвристику для измерения структуры различных теорий: более сложные теории имеют меньше автоморфизмов.
|
|
|
|
В 2012 году два философа предложили способ сравнить структурную сложность разных теорий. Математический объект X имеет по меньшей мере такую же структуру, как и другой, Y, тогда и только тогда, когда автоморфизмы X являются подмножеством автоморфизмов Y. Снова рассмотрим окружность. Теперь сравните его с кругом, окрашенным наполовину красным. Заштрихованный круг теперь имеет только некоторые из симметрий, к которым он привык, из-за дополнительной структуры, добавленной в систему. Это была хорошая попытка, но она слишком полагалась на объекты, имеющие один и тот же тип симметрии. Это хорошо работает для фигур, но не работает для более сложной математики. Исаак Вильгельм из Национального университета Сингапура попытался устранить эту чувствительность. Мы должны быть в состоянии сравнивать различные типы групп симметрии, пока мы можем найти соответствие между ними, сохраняющее внутреннюю структуру каждого из них. Например, маркировка чертежа устанавливает соответствие между изображением и зданием, сохраняя внутреннюю планировку здания.
|
|
|
|
Это изменение позволяет нам сравнивать структуры очень разных математических теорий, но также дает неверные ответы. «К сожалению, Вильгельм зашел слишком далеко», — сказал Барретт. «Не любая переписка подойдет». В своей недавней статье Барретт и его соавторы, Дж. Б. Манчак и Джеймс Уэзеролл, попытались спасти прогресс своего коллеги, ограничив типы симметрий или автоморфизмов, которые они будут рассматривать. Возможно, кошерным является только соответствие, возникающее из лежащих в основе объектов (например, круга и стрелки), а не из их групп симметрии. К сожалению, и эта попытка не удалась. На самом деле кажется, что использование симметрии для сравнения математической структуры может быть обречено в принципе. Рассмотрим асимметричную форму. Возможно, чернильное пятно. Что ж, в мире есть не одно чернильное пятно, и все они совершенно асимметричны и совершенно не похожи друг на друга. Но все они имеют одну и ту же группу симметрии, а именно, ни одну, поэтому все эти системы классифицируют чернильные пятна как имеющие одинаковую сложность, даже если некоторые из них гораздо более беспорядочны, чем другие.
|
|
|
|
Этот пример чернильного пятна показывает, что мы не можем сказать все о структурной сложности объекта, просто взглянув на его симметрию. Как объяснил Барретт, количество симметрий, допускаемых объектом, достигает нуля. Но нет соответствующего потолка сложности, которую может иметь объект. Это несоответствие создает иллюзию верхнего предела структурной сложности. И в этом авторы раскрывают истинную проблему. Концепция симметрии является мощной для описания структуры. Однако он не собирает достаточно информации о математическом объекте и научной теории, которую он представляет, чтобы можно было провести тщательное сравнение сложности. Поиск системы, которая может это сделать, будет по-прежнему занимать ученых. Хотя симметрия может и не дать решения, на которое надеялись авторы, они раскрывают ключевую идею: симметрии касаются концепций, которыми объект естественно и органично наделен. Таким образом, их можно использовать для сравнения структур различных теорий и систем. «Эта идея дает вам интуитивное объяснение того, почему симметрия является хорошим ориентиром в структуре», — сказал Барретт. Авторы пишут, что эту идею стоит сохранить, даже если философам придется отказаться от использования автоморфизмов для сравнения структур.
|
|
|
|
К счастью, автоморфизмы — не единственный вид симметрии в математике. Например, вместо того, чтобы рассматривать только глобальные симметрии, мы можем рассматривать симметрии локальных областей и также сравнивать их. В настоящее время Барретт исследует, к чему это приведет, и работает над тем, чтобы описать, что значит определять одну структуру с точки зрения другой. Хотя ясность все еще ускользает от нас, эта статья ставит перед философами цель. Мы не знаем, как далеко мы продвинулись в этом непростом восхождении на вершину понимания. Путь впереди окутан туманом, и может даже не быть вершины. Но симметрия обеспечивает фиксацию наших веревок, пока мы продолжаем подниматься.
|
|
|
|
Источник
|
