|
Почему нельзя завязывать узлы в четырех измерениях
|
|
|
|
Все мы знаем, что живем в трехмерном пространстве. Но что это значит, когда люди говорят о четырех измерениях? Это просто пространство большего размера? Это "пространство-время", популярная идея, возникшая из теории относительности Эйнштейна?
|
|
|
|
Если вам интересно, как на самом деле выглядят четыре измерения, вы, возможно, сталкивались с рисунками "четырехмерного куба". Но наш мозг запрограммирован на то, чтобы интерпретировать рисунки на плоской бумаге как двухмерные или, самое большее, трехмерные, а не как четырехмерные.
|
|
|
|
Почти непреодолимая трудность визуализации четвертого измерения на протяжении веков вдохновляла математиков, физиков, писателей и даже некоторых художников. Но даже если мы не можем себе этого представить, мы можем это понять.
|
|
|
|
Что такое измерение?
|
|
|
|
Размерность пространства отражает количество независимых направлений в нем.
|
|
|
|
Линия одномерна. Мы можем двигаться вдоль нее вперед и назад, но это противоположные, а не независимые направления. Вы также можете представить себе бечевку или кусок веревки практически одномерными, поскольку их толщина незначительна по сравнению с длиной.
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность, такая как футбольное поле или оболочка воздушного шара, двумерна. Существуют независимые направления вперед и в стороны.
|
|
|
|
Вы можете перемещаться по поверхности по диагонали, но это не является независимым направлением, потому что вы можете попасть в одно и то же место, двигаясь вперед, а затем в сторону. Пространство, в котором мы живем, трехмерно: мы можем не только двигаться вперед и в стороны, но и прыгать вверх и вниз.
|
|
|
|
Четырехмерное пространство имеет еще одно независимое направление. Вот почему пространство-время считается четырехмерным: у вас есть три измерения пространства, но движение вперед или назад во времени считается новым направлением.
|
|
|
|
Один из способов представить себе четырехмерное пространство как захватывающий трехмерный фильм, где каждый "кадр" трехмерен, и вы также можете перематывать его вперед и назад во времени.
|
|
Рассмотрим куб
|
|
|
|
Мощным инструментом для понимания высших измерений являются аналогии с низшими измерениями. Примером этой техники является рисование кубов в большем количестве измерений.
|
|
|
|
"Двумерный куб" - это просто квадрат. Чтобы нарисовать трехмерный куб, мы рисуем два квадрата, затем соединяем их угол к углу, чтобы получился куб.
|
|
|
|
Итак, чтобы нарисовать четырехмерный куб, начните с рисования двух трехмерных кубов, затем соедините их уголком к углу. Вы можете продолжать делать это, чтобы нарисовать кубы в пяти или более измерениях. (Вам понадобится большой лист бумаги и аккуратность линий!)
|
|
|
|
Этот эксперимент может помочь точно определить, сколько углов и граней имеет многомерный куб. Но большинству из нас он не поможет "увидеть" ни одного из них. Наш мозг будет интерпретировать изображения только как сложную сеть линий в двух или, самое большее, трех измерениях.
|
|
Узлы
|
|
|
|
Мы можем завязывать узлы в трех измерениях, потому что одномерные веревки "цепляются друг за друга". Вот почему длинная веревка, намотанная сама на себя, если все сделано правильно, не распадется. Мы доверяем узлам свою жизнь, когда плывем под парусом или занимаемся альпинизмом.
|
|
|
|
Но в четырех измерениях узлы мгновенно распадались бы. Мы можем понять, почему, используя пример с меньшим количеством измерений, как мы это делали с кубами.
|
|
|
|
Представьте себе колонию двумерных муравьев, живущих на плоской поверхности, разделенной линией. Муравьи не могут переступить черту: для них это непреодолимый барьер, и они даже не подозревают о существовании другой стороны черты.
|
|
|
|
Но если однажды муравей и его мир станут трехмерными, он с легкостью перешагнет черту. Чтобы перешагнуть, ему нужно совсем чуть-чуть сдвинуться в новом, вертикальном направлении.
|
|
|
|
Теперь вместо муравья и линии на плоской поверхности представьте горизонтальный и вертикальный отрезки веревки в трех измерениях. Они зацепятся друг за друга, если потянуть их в противоположных направлениях.
|
|
|
|
Но если бы пространство стало четырехмерным, горизонтальному отрезку веревки было бы достаточно лишь немного сдвинуться в новом, четвертом направлении, чтобы полностью избежать другого.
|
|
|
|
Если представить себе фильм в четырех измерениях, то куски веревки живут в едином трехмерном кадре. Если горизонтальный отрезок веревки слегка смещается в сторону будущего кадра, в этом кадре нет вертикального отрезка, поэтому он может легко переместиться на другую сторону вертикального отрезка, прежде чем вернуться обратно.
|
|
|
|
С нашей трехмерной точки зрения веревки будут скользить друг сквозь друга, как призраки.
|
|
|
|
Узлы в большем количестве измерений
|
|
|
|
В таком случае, невозможно ли завязать веревку в большем количестве измерений? Да: любой узел, завязанный на веревке, распадется.
|
|
|
|
Но еще не все потеряно: в четырехмерном пространстве вы можете связывать двумерные поверхности, такие как воздушные шары, большие одеяла для пикника или длинные трубки.
|
|
|
|
Существует математическая формула, которая определяет, когда узлы могут оставаться завязанными: возьмите размер объекта, который вы хотите завязать, удвоьте его и добавьте единицу. Согласно формуле, это максимальный размер пространства, в котором возможно завязывание узлов.
|
|
|
|
Формула подразумевает, например, что веревка (одномерная) может быть завязана узлом не более чем в трех измерениях. Поверхность (двумерного) воздушного шара может быть завязана узлом не более чем в пяти измерениях.
|
|
|
|
Изучение узловатых поверхностей в четырехмерном пространстве - это динамичная тема исследований, которая дает математическое представление о все еще плохо изученных тайнах хитросплетений четырехмерного пространства.
|
|
|
|
Источник
|
